Высшая математика. Лекции. Часть 2

Следовательно, произведение y=1,45⋅2,28⋅1,12≈3,71 обусловливает погрешность δ(y)≤2,5%,
∆(y) = ∆(3,71) = δ(y)⋅y = 0,025⋅3,71<0,09.
10.11. Дифференцирование неявной функции
Пусть переменные x и y связаны соотношением
F(x,y) = 0, (10.13)
где F(x,y) — функция переменных (x,y), определенная в некоторой области σ. Если для каждого значения x из некоторого промежутка существует такое y, которое совместно с x удовлетворяет (10.13), то этим определяется функция y=y(х), для которой равенство F(х,y(х))=0 справедливо при любом значении x из данного промежутка.
Функцию y=y(х), заданную с помощью соотношения (10.13), не разрешенного относительно y, называют неявной функцией от x. Термин «неявная функция» характеризует лишь способ задания, а не ее свойства.
Пример: F(x,y)=x2/a2+y2/b2–1=0. Здесь F(x,y)=0 есть каноническое уравнение эллипса. Из уравнения x2/a2+y2/b2=1 получаем

Вычислим y′. С этой целью продифференцируем (10.13) по x и воспользуемся формулой полной производной. Положив в ней y=y(x), получим полную производную от F по x:

Учитывая, что F=0, получим

Из последнего равенства следует (при ∂F/∂y≠0)
(10.14)
Последняя формула выражает правило дифференцирования неявной функции. Производные высших порядков d2y/dx2 и т. д. можно получить с помощью повторного дифференцирования тождества (10.14) по x.
Пример. Дано F(x,y)=y3+3y–x=0. Найти dy/dx.
Решение. = –1; . Тогда

Лекция 4
10.12. Формула Тейлора для функции двух переменных
Для функции одной переменной имеем (8.20)

Рассмотрим теперь f(x,y) — функцию двух переменных. Пусть x и y близки к a и b соответственно. Тогда формула “нулевого приближения” имеет вид f(x,y)=f(a,b). Если учесть члены первого порядка малости, то получим
f(x,y) = f(a,b) + А(х – a) + В(y – b), (10.15)
где A, B — некоторые числовые коэффициенты. Для вычисления А возьмем частные производные по x от обеих частей (10.15):

Так как А=const, то следует положить x=a, y=b, и тогда Аналогично: В=Положив х=a, y=b, получим В=Окончательно,
f(x,y) = f(a,b) + (х – a) + (y – b). (10.16)
Еще более точная формула «второго приближения», учитывающая также и члены второго порядка малости, имеет вид
f(x,y) = f(a,b) + [А(х – a) + В(y – b)] + [C(х – a)2 +D(х – a)(y – b)+E(y – b)2], (10.17)
где A, B, C, D, E — некоторые числовые коэффициенты. Вычислим их, определив первые и вторые частные производные:

;
Полагая в этих равенствах х=a, y=b, получим

Подставляя A, B, C, D, E в (10.17), будем иметь
f(x,y)=f(a,b) + [(х–a) + (y–b)] + 2(10.18)
Хотя эта формула получена независимо от (10.16), в них А и В тождественны, а также появились поправки второго порядка малости.
Процесс учета поправок более высокого порядка малости можно было бы продолжить. Отметим, что |x–a| и |y–b| должны быть очень малы, в противном случае формула (10.18) дает неверные результаты. Полученные формулы можно применить, в частности, для исследования точек экстремума функции f(x,y).
10.13. Экстремумы функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума
Дана функция z=f(x,y). Предположим, что она имеет экстремум (максимум или минимум) при х=a, y=b. В качестве примера на рис. 3 приведено расположение линий уровня функции f в плоскости аргументов вблизи точки М экстремума. Тогда ясно, что если положить y=b, а изменять только x, то полученная функция f(x,b) от одного переменного x имеет при х=а экстремум. Геометрически это означает, что если следовать вдоль ВК, то в точке М будет экстремум. Но, как известно, при этом должно быть

В квадратных скобках стоит производная по х при y=b, т. е. это частная производная по х. Аналогично рассматривается случай х=а и изменяющегося y. В результате получаем необходимое условие экстремума функции двух переменных в виде
(10.19)

Рис. 3
Раньше для y=f(x) необходимое условие экстремума являлось “почти достаточным”. Так, например, если то в точке х=а имеем минимум при и максимум при
Можно было бы ожидать, что и для f(x,y) при выполнении (10.19) экстремум в точке (a,b) обязательно будет, если в ней частные производные второго порядка отличны от нуля. Но это не так. Достаточное условие оказывается более сложным. Для иллюстрации сказанного рассмотрим
Пример. Дано: z=x2+y2. Найти экстремум.
Решение. Условие (10.19) дает 2х=0, 2y=0, т. е. точкой предполагаемого экстремума является начало координат (рис. 4). Точка O с координатами (0,0) есть минимум, так как z(0,0)=0, а в остальных точках z>0. При этом т. е. вторые производные постоянны. Можно показать, что функция z=Ax2+By2 имеет при A>0, B>0 в начале координат минимум, а при A<0, B<0 — максимум.

Рис. 4
Иная ситуация, если z=x2–y2. При этом на рис. 5 линии уровня имеют вид гипербол, а в заштрихованной части z>0. При y=0 имеем z=x2, т. е. от начала координат вдоль оси OX функция в обе стороны возрастает, а в самом начале имеет минимум. Если же x=0, то z=–y2, т. е. вдоль оси OY функция в обе стороны убывает, а в самом начале имеет максимум.

Рис. 5
Если рассматривать другие прямые, проходящие через начало координат, то вдоль одних из них функция имеет в начале максимум, а вдоль других — минимум. Такой случай называется минимаксом, когда в начале координат экстремума нет, хотя необходимые условия выполняются и частные производные второго порядка не все равны нулю.
Рассмотрим общий случай. Если выполняются условия (10.19) (), формула (10.18) принимает вид
f(x,y) = f(a,b) + 2]. (10.20)
При этом мы пренебрегаем членами третьего порядка малости в силу их малой значимости. Обозначим: x–а=ξ, y–b=η. Тогда из (10.20) следует, что все зависит от поведения квадратичной формы
P(ξ,η) = Aξ2 + 2Bξη +Cη2,
где P(ξ,η)=f(x,y)–f(a,b). Если P(ξ,η)>0, то f(x,y)>f(a,b) вблизи точки (а,b), т. е. имеет место минимум. Если P(ξ,η)<0, то f имеет максимум. Если же P(ξ,η) принимает значения обоих знаков, то в точке (а,b) минимакс. Установим по значениям А, В, С наличие минимума, максимума, минимакса. Представим Р в виде
P(ξ,η) = η2(At2 + 2Bt + C), (10.21)
где t=ξ/η. Пусть дискриминант В2–АС>0, тогда уравнение At2+2Bt+C=0 имеет два вещественных корня, при переходе через которые он меняет знак. При этом имеем минимакс.
Если же В2–АС<0, то многочлен At2+2Bt+C имеет мнимые корни и поэтому знака не меняет. Это случай экстремума. Чтобы определить, каков он, положим в (10.21) t=0.