Математика для взрослых

УМНОЖЕНИЕ
Трижды семь — двадцать один, четырежды семь — двадцать восемь… Чего уж скрывать, зазубривание таблицы умножения — на редкость утомительное занятие, однако эта таблица имеет слишком большую практическую ценность, чтобы просто забыть о ней как о страшном сне. Работать с ней будет гораздо легче, если вы освоите несколько трюков, быстрых приемчиков и прочих секретов взаимосвязи чисел в таблице.

Если вам надо найти указанное количество процентов от «чего-то», выполните с этим «чем-то» следующие действия.

50 %: разделить на 2

25 %: найти 50 % и разделить на 2

10 %: разделить на 10

5 %: найти 10 % и разделить на 2

2½%: найти 5 % и разделить на 2

1 %: разделить на 100

Комбинируя эти варианты, можно быстро вычислить и многие другие значения.

15 % от 25 фунтов:

10 % от 25 = 2,50, 5 % = 1,25. Сложив эти значения, получим 15 % = 3,75 фунта.

35 % от 70 фунтов:

50 % от 70 = 35, значит, 25 % = 17,50. 10 % от 70 = 7, значит, 35 % = 17,50 + 7 = 24,50 фунта.

17½% от 150 фунтов

10 % от 150 = 15, 5 % = 7,50 и 2½% = 3,75. Сложив эти три значения, получим 17½% = 26,25 фунта.

Индо-арабская система счисления сделает самую тяжелую работу за вас, достаточно лишь записать числа так, чтобы единицы, десятки и сотни выстроились в столбцы. Более того, вычисление сумм таким образом поможет вам развить чутье на правильный ответ — способность, которая никогда не появится, если полагаться на калькулятор!

Иногда суммы уже рассчитаны за вас, и это повод проверить свое чутье на практике.

Ноль? Ноль!

У древних римлян не было обозначения для 0. Лишь после введения системы разрядов 0 стал важен для написания таких чисел, как 10 и 100.

Единственное место, где нынче не встретишь римские цифры, — это математика. Представьте, как бы вы рассчитывали выручку на ярмарке во времена древних римлян…

Индо-арабская система против римской

Мы пользуемся индо-арабской системой счисления, которая появилась в Индии около 2400 лет назад. Примерно 1100 лет назад на нее перешли арабские математики и астрономы, а около 800 лет назад Леонардо Фибоначчи из Пизы способствовал ее распространению в Европе (приблизительно в то же время была построена знаменитая Пизанская падающая башня).

Трудно оценить всю элегантность этой числовой системы, пока вы не рассчитаете ту же сумму, записанную римскими цифрами. Цифры у римлян обозначались буквами следующим образом:

M = 1000

D = 500

C = 100

L = 50

X = 10

V = 5

I = 1

Обычно числа представляли собой последовательности этих букв, от наибольших значений до наименьших. Например, CLXXIII = 100 + 50 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 173. Однако записывать подобным способом такие числа, как 9 (получилось бы VIIII), было неудобно, и тогда меньшие значения ставили перед большими, при этом их следовало не прибавлять, а вычитать, и 9 записывалось как IX.

Римские цифры до сих пор используются людьми в случае, когда нужно придать чему-то стильный или элегантный вид. На циферблатах старого образца часы обозначаются римскими цифрами от I до XII, а во многих фильмах и телепрограммах после титров римскими цифрами пишут год выпуска, например MMX, то есть 2010-й. В фундаменте известных строений или статуй часто заложен камень с выбитой римскими цифрами датой. Статуя Свободы в Нью-Йорке держит в руке табличку, где вырезана дата принятия Декларации независимости — JULY IV MDCCLXXVI (4 июля 1776 года).

СЛОЖЕНИЕ

Сложение — в числе первых навыков, которым учат в школе, однако не принимайте это как должное! Сложение кажется простым благодаря использованию гениальной индо-арабской системы счисления, которая может оперировать числами любой величины, хотя в ней фигурируют всего десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Давайте вспомним, как она устроена.

Система разрядов

Предположим, вы провели три незабываемых дня, торгуя на ярмарке. Ваша выручка соответственно составила 173, 585 и 234 фунта. Но вот досада: вы по ошибке продали свой калькулятор. Так сколько же всего денег вы заработали?

Цифры в числах расположены по системе разрядов, так что в числе 173 3 означает три единицы, 7 — семь десятков, а 1 — одну сотню. Для того чтобы подсчитать сумму 173 + 585 + 234, вам нужно просто записать числа так, чтобы сотни, десятки и единицы находились в столбцах друг под другом.

Если вы тоже из числа тех, кому, как и Блэйки, не дается математика, скорее всего, вы упустили что-то важное в самом начале ее изучения, поэтому и в остальном разобраться не получается

Наша ошибка состояла в том, что мы разделили обе части уравнения на (a − b). Но в случае, когда a = b,(a − b) = 0. Единственное, чего нельзя делать одновременно с обеими частями уравнения, — это делить на ноль! Если, конечно, вы не собираетесь потратить денек-другой на попытки разрушить Вселенную...

На старинных часах ровно 6 часов вечера. Сколько будет времени, когда минутная стрелка догонит часовую?
Разумеется, сложность в том, что часовая стрелка постоянно медленно движется. Как же это учесть?
Допустим, m — это количество минут, прошедших после 6 часов до того момента, когда минутная и часовая стрелки совпадут.
Минутной стрелке понадобится 30 минут, чтобы добраться до цифры 6, плюс пройти дистанцию, которую преодолеет часовая стрелка за m минут. Давайте это запишем:
Нам нужно выяснить, как далеко продвинется часовая стрелка за m минут.
Минутная стрелка делает один полный оборот в час. Часо­вой стрелке нужно 12 часов, чтобы сделать полный оборот, то есть ее скорость — 1/12 от скорости минутной.
Составим уравнение:
m = 30 + m/12
Число 12 в качестве знаменателя выглядит отвратительно, однако не волнуйтесь — мы умножим на 12 обе части уравнения:
12m = 360 + m
Перенесем + m в другую часть уравнения, поменяв знак:
12m — m = 360
Вычтем 1m из 12m:
11m = 360
Разделим обе части на 11:
m = 32,727
Выходит, стрелки совпадут через 32,727 минуты после 6 часов вечера. Однако 0,727 минуты в ответе смотрятся некрасиво. Поскольку в минуте 60 секунд, в секундах это будет 0,727 × 60, то есть около 44 секунд. Теперь у нас есть понятный ответ: стрелки совпадут в 6:32:44 вечера.

Имея дело со скидками, обратите внимание на один момент: предположим, вы покупаете не батарейки, а местную газету. Вам нужен лишь один экземпляр, так что нет смысла покупать две газеты за 65 пенсов, если можно купить одну за 35 пенсов в магазине, где предлагают скидку 30%. Как ни странно, некоторые люди не в силах устоять перед «самым выгодным предложением», даже если им оно не нужно!